MTK (Contoh soal:mencari panjang busur dan luas juring

Contoh Soal 1

Pada suatu lingkaran dengan pusat O diketahui titik A, B, C, dan D pada keliling lingkaran, sehingga ∠AOB = 35° dan ∠COD = 140°. Jika panjang busur AB = 14 cm, hitunglah panjang busur CD.

Penyelesaiannya:

Berdasarkan soal di atas maka sketsa gambarnya seperti berikut

Di depan telah dipelajari hubungan antara sudut pusat dan panjang busur berikut.

CD/AB = ∠COD / ∠AOB

CD /14 cm = 140°/35° 

CD = (140°/35°) x 14 cm

CD = 4  x 14 cm

CD = 56 cm

Jadi panjang busur CD adalah 56 cm

Contoh Soal 2

Pada gambar di bawah, luas juring OAB = 50 cm².

Hitunglah

a. luas juring POQ;

b. jari-jari lingkaran;

c. luas lingkaran.

Penyelesaiannya:

a. untuk mencari luas juring POQ dapat digunakan persamaaan berikut ini

Luas AOB/Luas POQ = ∠AOB /∠POQ

50 cm²/ Luas POQ = 75°/60°

50 cm²/ Luas POQ = 1,25

Luas POQ = 50 cm²/1,25

Luas POQ = 40 cm²

b. untuk mencari jari-jari lingkaran dapat digunakan persamaan:

luas lingkaran/luas POQ = ∠ 1 lingkaran/∠POQ

πr² /luas juring POQ = 360°/∠POQ

πr²/40 cm² = 360°/60°

πr²/40 cm² = 6

πr² = 40 cm² x 6

πr² = 240 cm²

r² = 240 cm²/(22/7)

r = 8,74 cm

c. Untuk mencari luas lingkaran dapat digunakan persamaan:

luas lingkaran/Luas AOB = ∠ 1 lingkaran/∠AOB

luas lingkaran/50 cm²  = 360°/75°

luas lingkaran/50 cm²  = 4,8

luas lingkaran = 4,8 x 50 cm²  

luas lingkaran = 240 cm²  

atau dengan menggunakan rumus πr², maka:

πr² = (22/7) x (8,74 cm)

πr² = (22/7) x (76,3878 cm)²

πr² = 240 cm²

Contoh Soal 3

Panjang jari-jari sebuah lingkaran diketahui 20 cm. Hitunglah

a. panjang busur di hadapan sudut 30°;

b. luas juring di hadapan sudut 45°

Penyelesaian:

a. Misal panjang busur di hadapan sudut 30° adalah AB dan sudut 30° = ∠AOB maka:

panjang AB/keliling lingkaran = ∠AOB/∠ 1 lingkaran

panjang AB/2πr = ∠AOB/360°

panjang AB/(2 x 3,14 x 20 cm) = 30°/360°

panjang AB/125,6 cm = 1/12

panjang AB = 125,6 cm/12

panjang AB = 10,5 cm

b. misal luas juring di hadapan sudut 45° = POQ dan sudut 45° = ∠POQ maka:

luas POQ /luas lingkaran = ∠POQ/∠ 1 lingkaran

luas POQ /πr²= 45°/360°

luas POQ = (45°/360°) x πr²

luas POQ = 0,125 x 3,14 x (20 cm)²

luas POQ = 157 cm²

Contoh Soal 4

Pada gambar di bawah diketahui panjang OP = 28 cm dan busur PQ = 17,6 cm. Hitung luas juring  POQ.

Penyelesaian:

keliling lingkaran tersebut adalah

K = 2πr

K = 2 x (22/7) x 28 cm

K = 176 cm

Luas lingkaran tersebut adalah

L = πr²

L = (22/7) x (28 cm)²

L = 2464 cm²

Sekarang cari sudut POQ

∠ POQ /∠ 1 lingkaran = panjang PQ/keliling lingkaran

∠ POQ /360° = 17,6cm/176 cm

∠ POQ = (17,6 cm/176 cm) x 360°

∠ POQ = 36°

luas juring  POQ/Luas Lingkaran = ∠ POQ/∠ 1 lingkaran

luas juring  POQ/2464 cm² = 36°/360°

luas juring  POQ = 0,1 x 2464 cm²

luas juring  POQ = 246,4 cm²

Contoh Soal 5

Hitunglah keliling dan luas bangun yang diarsir pada gambar berikut.

Penyelesaian:

a. Pada gambar (a) diketahui ∠AOB = 45°, panjang jari-jari lingkaran (r) = 11 cm. Untuk mencari keliling gambar (a) terlebih dahulu cari panjang AB, maka

panjang AB/keliling lingkaran = ∠AOB/∠ 1 lingkaran

panjang AB/2πr = ∠AOB/360°

panjang AB/(2 x 3,14 x 11 cm) = 45°/360°

panjang AB/69,08 cm = 0,125

panjang AB = 69,08 cm x 0,125

panjang AB = 8,635 cm ≈ 8,64 cm

keliling gambar (a) = panjang AB + 2 x panjang AO

keliling gambar (a) = 8,64 cm + 2 x 11 cm

keliling gambar (a) = 30,64 cm

Untuk mencari luas yang diarsir (ABCD) pada gambar (a) terlebih dahulu cari Luas juring AOB dan luas juring yang tidak diarsir (COD),maka

luas juring  AOB /Luas Lingkaran = ∠ AOB /∠ 1 lingkaran

luas juring  AOB /πr² = 45°/360°

luas juring  AOB = 0,125 x πr²

luas juring  AOB = 0,125 x 3,14 x (11 cm)²

luas juring  AOB = 47,49 cm²

sekarang cari luas juring yang tidak di arsir (COD)

luas juring  COD /Luas Lingkaran = ∠ COD /∠ 1 lingkaran

luas juring  COD/πr² = 45°/360°

luas juring  COD = 0,125 x πr²

luas juring  COD = 0,125 x 3,14 x (6 cm)²

luas juring  COD = 14,13 cm²

Luas ABCD = luas juring  AOB = 47,49 cm² - luas juring  COD = 14,13 cm²

Luas ABCD = 47,49 cm² - 14,13 cm²